Variantenermittlung bei sich unterscheidenden Elementen

Bedienen wir uns bei der Variantenermittlung ebenfalls einem simplen Beispiel. Wir gehen im folgenden von 5 Karten aus und überlegen uns, auf wieviel unterschiedliche Weisen diese Karten (mit Aufschrift A, B, C, D und E) gezogen werden können.

Soll nur eine Karte gezogen werden, so ist die Ermittlung einfach. Grundsätzlich kann jede Karte gezogen werden, es gibt somit 5 Möglichkeiten. Sobald mehrere Karten gezogen werden sollen, gibt es neben der Anzahl der zu ziehenden Karten weitere Rahmenbedingungen, welche die Variantenanzahl beeinflussen. Diese sind:

Wird die jeweils gezogene Karte wieder zurückgelegt?
Ist für die Lösung die Reihenfolge der Ziehung relevant?

Aus diesen zwei Rahmenbedinungen können vier Fallkonstellationen gebildet werden, auf die wir im folgenden eingehen:

Zur Berechnung der Variantenanzahl steht auch unser Online Tool zur Verfügung.

Ohne Zurücklegen - Reihenfolge relevant

Werden aus den 5 Karten 2 Karten nacheinander gezogen, ohne dass die erste Karte zurückgelegt wird, so ergibt sich bei der Ziehung der ersten Karte eine Anzahl möglicher Varianten von 5 und bei der zweiten Karte eine Anzahl von 4 Möglichkeiten. Da egal welche Karte beim ersten mal gezogen wurde, es wiederum noch 4 Möglichkeiten für die zweite Karte gibt, muss man die zwei Anzahlmöglichkeiten miteinander multiplizieren um auf die Gesamtanzahl, in diesem Fall 20 zu kommen.

Werden aus den 5 Karten 3 Karten nacheinander gezogen, so ergibt sich bei der ersten Karte 5 unterschiedliche Möglichkeiten eine Karte zu ziehen, bei der zweiten Karte noch 4 unterschiedliche Möglichkeiten eine Karte zu ziehen und bei der dritten Karte noch 3 unterschiedliche Möglichkeiten die letzte Karte zu ziehen. Die Gesamtanzahl ergibt sich aus der Multiplikation von 5, 4 und 3 (60 Varianten).

Werden alle Karten gezogen, so ergibt sich die mathematische Funktion der Fakultät. Man multipliziert alle ganzen Zahlen von der angegebenen Zahl bis hin zu 1 herunter. Diese wird notiert mit der Anzahl und einem Ausrufezeichen. In diesem Fall also 5! mit dem Ergebnis von 120.

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Ohne Zurücklegen - Reihenfolge irrelevant

Grundsätzlich erfolgt die Ermittlung der Varianten analog dem zuvor beschriebenen Vorgehen. Die Anzahl der Varianten kürzt sich allerdings, da ein Vertauschen der Reihenfolge der gezogenen Karten keine neue Variante darstellt.

Werden beispielsweise 2 Karten aus 5 gezogen und diese haben die Werte A und B, so ist es irrelevant ob zuerst A und dann B oder zuerst B und dann A gezogen wurden. Die Anzahl der Varianten reduziert sich entsprechend den möglichen Varianten des Ergebnisses. Wieviel Varianten hat ein spezielles Ergebnis? Dies ist ebenfalls im zuvor beschriebenen Vorgehen enthalten. Um zu ermitteln auf wieviel unterschiedliche Weise beispielsweise 3 Karten angeordnet werden können muss man nur alle möglichen Varianten beim ziehen von 3 aus 3 berechnen - sprich die Fakultät von 3 (9 Varianten).

Teilt man die Gesamtanzahl aller Varianten durch die Anzahl der Varianten des Ergebnisses, so erhält man die Gesamtanzahl der Varianten ohne Berücksichtigung der Reihenfolge im Ergebnis. In unserem Beispiel ist die Anzahl der Varianten 2 Karten aus 5 Karten zu ziehen 20 (5 mal 4). Dieses Ergebnis wird geteilt durch die Anzahl der Kombination von 2 Karten, welche 2 ergibt (Fakultät von 2, sprich 2 mal 1). Das Ergebnis lautet somit

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Mit Zurücklegen - Reihenfolge relevant

Werden aus den 5 Karten 2 Karten nacheinander gezogen, wobei nach der ersten Ziehung die gezogene Karte wieder zurückgelegt wird, so ergibt sich bei der Ziehung der ersten Karte eine Anzahl möglicher Varianten von 5 und bei der zweiten Karte wiederum eine Anzahl von 5 Möglichkeiten. Da egal welche Karte beim ersten mal gezogen wurde, es wiederum noch 5 Möglichkeiten für die zweite Karte gibt, muss man die zwei Anzahlmöglichkeiten miteinander multiplizieren um auf die Gesamtanzahl, in diesem Fall 25 zu kommen.

Werden aus den 5 Karten 3 Karten nacheinander gezogen, so ergibt sich bei der ersten Karte 5 unterschiedliche Möglichkeiten und bei jeder weiteren Karte wiederum 5 Möglichkeiten. Die Gesamtanzahl ergibt sich aus der Multiplikation von 5 mit sich selbst, so oft eine Karte gezogen wird (Potenzfunktion). Als Ergebnis ergeben sich in diesem Beispiel 125 Varianten.

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Mit Zurücklegen - Reihenfolge irrelevant

Zuerst denkt man mit Sicherheit daran, die vorherige Lösung (Anzahl Elemente hoch Anzahl der Ziehungen) mit der vorletzten Lösung (geteilt durch die Fakultät der Anzahl von Elementen im Ergebnis) zu kombinieren. Dies ist allerdings ein Trugschluss, wie das folgende Beispiel aufzeigt. Bei 2 Karten aus 5 wobei die erste Karte zurückgelegt wird und die Reihenfolge der Ziehung nicht relevant ist, würde dies 5 hoch 2 (ergibt 25) geteilt durch Fakultät 2 (2 mal 1) im Endergebnis 12,5 ergeben. Eine halbe Variante ist aber logisch nicht möglich! Was ist hier der Gedankenfehler?

Da die gezogene Karte wieder zurückgelegt wird, kann diese erneut gezogen werden. Ein erneutes ziehen stellt aber bei einer Betrachtung eines Ergebnisses dessen Reihenfolge irrelevant ist kein neue Variante dar. Ein Beispiel: Nachdem zuerst Karte A gezogen wurde und diese zurückgelegt wird, wird die Karte B gezogen. Wenn die Reihenfolge der Ziehung egal ist, so stellen diese 2 Varianten defacto nur eine dar. Die Anzahl der Gesamtvarianten wird halbiert. Wird anstelle der Karte B erneut A gezogen, so stellt bereits das Ergebnis (unabhängig ob die Reihenfolge relevant oder irrelevant ist) eine Variante dar. Beim Ziehen mit zurücklegen ist somit die mit Fakultät ermittelte Anzahl im Ergebnis zu hoch (da es Konstellationen gibt, bei dessen Tausch es keine Aufhebung der Varianten gibt).

Anstelle den Fehler im Nenner zu bereinigen, kann man die zurückgelegte Karte als eine neue Karte beim Ziehen betrachten. Somit wären beim ziehen von 2 aus 5, Anfänglich nicht 5 sondern fiktiv 6 Karten zum ziehen möglich. Über diese Annahme kann man das Ergebnis mit der vorletzten Lösung ermitteln, man muss nur die Anzahl der zurückgelegten Elemente (Anzahl der Ziehungen minus 1) der ursprünglichen Gesamtanzahl hinzuzählen. Im Beispiel 2 aus fünf ergibt dies 6 mal 5 geteilt durch Fakultät 2 gleich 15 Varianten.

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